Question

如图，射线BD是∠MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：△AGF∽△BAF；

（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，求．

Answer

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）=

【解析】

试题分析：（1）由于EF=CF，要证AF=EF，只需证FA=FC，只需证△ABF≌△CBF即可；

（2）由于∠AFG=∠BFA，要证△AGF∽△BAF，只需证∠FAE=∠ABF，易得∠FAE=∠FEA，∠ABF=∠CBF，只需证∠ABC+∠AFE=180°，只需证∠BAF+∠BEF=180°，只需证到∠BAF=∠FEC即可；

（3）由△AGF∽△BAF可得∠BAF=∠AGF，=，易证△BGE∽△AGF，则有=，由条件∠PBG=∠BAF可得∠PBG=∠AGF，由此可得∠BPG=∠PBG，即可得到BG=PG，问题得以解决．

试题解析： （1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

在△ABF和△CBF中，

BA=BC, ∠ABF=∠CBF,BF=BF，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF．

∵点F在EC的垂直平分线上，

∴EF=CF，

∴AF=EF；

（2）∵△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF．

∵FE=FC，

∴∠FEC=∠FCE，

∴∠BAF=∠FEC．

∵∠BEF+∠FEC=180°，

∴∠BAF+∠BEF=180°．

∵∠BAF+∠ABE+∠BEF+∠AFE=360°，

∴∠ABE+∠AFE=180°．

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA．

∵∠AFE+∠FAE+∠FEA=180°，

∴∠ABE=∠FAE+∠FEA=2∠FAE．

又∵∠ABE=2∠ABF，

∴∠FAE=∠ABF．

∵∠AFG=∠BFA，

∴△AGF∽△BAF；

（3）∵△AGF∽△BAF，

∴∠AGF=∠BAF，．

∵∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，

∴∠PBG=∠AGF，=，

∴∠BPG=∠PBG，=，

∴PG=BG，

∴．

∵∠GAF=∠ABF=∠EBF，∠AGF=∠BGE，

∴△BGE∽△AGF，

∴=，

∴=．