Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若AB=12，AE=5，cos∠BFE=，求矩形ABCD的周长．

Answer

（1）证明见解析（2）62

【解析】分析：（1）先求出，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形；
（2）由三角函数和勾股定理求出，得出，即可得出答案．

详【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC.AB=CD，

∵AE=CF，

∴DE=BF.

∴四边形BFDE是平行四边形。

(2)∵矩形ABCD，

∴

过点E作EG⊥BC于G.

∵

∴四边形ABGE是矩形，

∴AE=BG=5，AB=EG=12.

∵在Rt△EFG中,

∴

设FG=3x，EF=5x，

∴

∴x=3.

∴FG=3x=9，

∴BC=BG+FG+CF=5+9+5=19.

∴矩形ABCD的周长=19×2+12×2=62.