Question

如图，抛物线y=－ +mx+m+与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧）与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．

（1）求顶点D的坐标（用m 的代数式表示）；

（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；

（3）当△BCD的面积与△ABC的面积相等时，求m的值.

Answer

（1）D；（2）；（3）

【解析】分析：（1）运用配方法改写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；

（2）先将y=﹣x2+mx+m+与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再由抛物线的对称性可知当60°≤∠ADB≤90°时，30°≤∠ADH≤45°，然后根据30°，45°角的正切函数值及锐角三角函数的增减性即可求出m的变化范围；

（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．先运用待定系数法求出直线BC的解析式，则可用含m的代数式表示点M的坐标，再根据S△DBC=S△ABC求出m的值．

详解：（1）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴顶点D（m，），即；D（m，）．

（2）过D作DH⊥x轴于H．令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1，

则与x轴的交点A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．

当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，∴当∠ADH=30°时，=，∴m=2﹣1，当∠ADH=45°时，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；

（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．

设过点B（2m+1，0），C（0，m+）的直线解析式为；y=kx+b，则，解得，即y=﹣x+m+．

当x=m时，y=﹣m+m+=，∴M（m，），∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2．

又∵S△DBC=S△ABC，∴•（2m+1）=（2m+2）•（m+）．解得：m=－1，m=－，m=2．又∵抛物线的顶点D在第一象限，∴m＞0，解得：m=2．