Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AC边上一点，AD=nCD，CE⊥BD于E交AB于F，连接DF.

（1）如图，当BF=2AF时，求证：n=1；

（2）如图，当DF//BC时，求的值.

Answer

（1）n=1；（2）

【解析】分析：（1）作AG∥BC交CF延长线于G，则，可证明△ACG≌△CBD ，得到AG=CD ．

由AC=BC，得到AG：BC=CD：AC=，即可得到结论．

（2）由DF∥BC，得到∠CDF=∠BCD=90°．再由∠DCE=∠EBE，得到△CDF∽△BCD，由相似三角形的性质得到DF：DC=CD：BC．可证明AD=DF．令CD=1，则DF=AD=n，BC=AC=n+1， 得到n：1=1：(n+1)，解方程得到n的值．再证明△DEF∽△CDF，得到DE：EF=CD：DF=，即可得到结论．

详【解析】
（1）如图1，作AG∥BC交CF延长线于G，则．

∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ECB=90°．

∵CE⊥BD，∴∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACE=∠CBE．

∵AG∥BC，∠ACB=90°，∴∠GAC=180°－90°=90°，∴∠GAC=∠DCB．

在△ACG和△CBD中，∵∠∠GAC=∠DCB，AC=CB，∠ACE=∠CBE，∴△ACG≌△CBD ，∴AG=CD ．

∵AC=BC，∴AG：BC=CD：AC=，∴AC=2CD，∴AD=CD．

∵AD=nCD，∴n=1．

（2）如图2．

∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CDF=180°-90°=90°，∴∠CDF=∠BCD=90°．

∵∠DCE=∠EBE，∴△CDF∽△BCD，∴DF：DC=CD：BC．

∵AC=CB，∠ACB=90°，∴∠A=45°．

∵∠CDF=90°，∴∠ADF=90°，∴∠DFA=45°，∴AD=DF．令CD=1，则DF=AD=n，BC=AC=n+1， ∴n：1=1：(n+1)，∴n= (负数舍去），∴n=．

∵CE⊥BD，∴∠DEF=90°．

∵∠CDF=90°，∴∠DEF=∠CDF=90°．

∵∠DFE=∠DFE，∴△DEF∽△CDF，∴DE：EF=CD：DF==．