Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，连接并延长OB交CA延长线于点E．

（1）求证: OA平分∠BAC；

（2）若tan∠ABC=，AC=． 求⊙O的半径和线段BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连接OC．由AB=AC，得到弧AB=弧AC ，从而得到∠AOB=∠AOC ．由等腰三角形的性质得到OA⊥BC，即可得出结论．

（2）延长AO交圆于P ，连接PC．由tan∠P=tan∠ABC=，得到PC，AP的长，即可得到半径．证明△EBA∽△EAO，得到 ．设BE=x，则AE=5x，OE=OB+BE=5+x，得到，解方程即可得到结论．

详解：（1）连接OC．

∵AB=AC，∴弧AB=弧AC ，∴∠AOB=∠AOC ．

∵OB=OC， ∴OA⊥BC．

∵AB=AC，∴OA平分∠BAC．

（2）延长AO交圆于P ，连接PC．tan∠P=tan∠ABC=，

∴PC=3AC=，AP=10，∴r=5．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠EAB=∠ABC+∠ACB=2∠ACB=∠AOB，∠E=∠E，

∴△EBA∽△EAO，∴ ．

设BE=x，则AE=5x，OE=OB+BE=5+x，

∴，解得：x=，∴BE=x=．