Question

如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①存在，矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为；②．

【解析】

试题分析：（1）只要证到三个内角等于90°即可．

（2）①易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．

②根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．

试题解析：【解析】
（1）证明：如图，

∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．

∴四边形EFCG是矩形．

（2）①存在．

如答图1，连接OD，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．

∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．

∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴．

∵AD=4，AB=3，∴BD=5.

∴. ∴S矩形ABCD=2S△CFE=．

∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．

∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°

Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如答图1所示．

此时，CF=CB=4．

Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如答图2所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．

Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如答图3所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．

∴4×3=5×CF″′．∴CF″′=．

∴≤CF≤4．

∵S矩形ABCD=，∴，即．

∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，

∴点G的移动路线是线段DG″．

∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．

∴，即，解得．

∴点G移动路线的长为．