Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+4x+5．（2）m=2或m=．（3）点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；

（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．

试题解析：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．

（2）∵点P的横坐标为m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．

由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|-m+15|

① 若﹣m2+m+2=-m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m=；

② 若﹣m2+m+2=﹣（-m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m=或m=．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．

∴m=2或m=．

（3）假设存在．

作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．

当四边形PECE′是菱形存在时，

由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，

∴，即，解得CE=|m|，

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|

∴|﹣m2+m+2|=|m|．

（1） 若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ；

③ 若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，

此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，

∴P（0，5）

综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）