Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10 cm，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE =2cm，连结PE，设点P的运动时间为t秒．

（1）①CE=           （用含t的式子表示）

②若PE⊥BC，求BQ的长；

（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。  

Answer

（1）①CE=2t －2②（2）存在，t=4或12s

【解析】分析：（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BM=CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=BC=5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP=BE，分类讨论得出方程，解方程即可．

详【解析】
（1）①CE= 2t －2（用含t的式子表示）

②作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠BAC=90°，∠B=45°，

∴∠C=45°=∠B，

∴AB=AC，

∴BM=CM，

∴

∵AD∥BC，

∴∠PAN=∠C=45°，

∵PE⊥BC，

∴PE=AM=5，PE⊥AD，

∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，

∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，

∵CE=CQ-QE=2t-2，

∴5-t=2t-2，

解得： ;

（2）存在，t=4或12s；理由如下：

（ⅰ）当点Q、E在线段BC上时，

若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，

则AP=BE，

∴t=10-2t+2，

解得：t=4，

（ⅱ）当点Q、E在线段CB的延长线上时，

若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形

则AP=BE，

t=2t-2-10

解得：t=12

∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12 s。