Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接DE，BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

详【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF．

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）【解析】
当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，

设BE=x，则DE=x，AE=8﹣x．

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（8﹣x）2，

解得x=5，即BE=5．

∵BD===4，

∴OB=BD=2．

∵BD⊥EF，

∴EO===，

∴EF=2EO=2．