Question

如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．

（1）若点E是的中点，求∠F的度数；

（2）求证：BE=2OC；

（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？

Answer

（1）∠F=30°；（2）见解析；（3）当x= 时，最大值=9．

【解析】分析：

（1）如图，连接OE，由OD∥OE可得∠DOE=∠OEB，由点E是的中点可得∠DOE=∠BOE，由OB=OE可得∠OBE=∠OEB，由此可得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，结合CF⊥AB即可得到∠F=30°；

（2）过点O作OM⊥BE于点M，由此可得BE=2BM，再证△OBM≌△DOC可得BM=OC，这样即可得到结论BE=2OC；

（3）由OD∥BF可得△COD∽△CBF，由此可得，由AB=4，AC=x结合（2）中结论可得OD=OB=BE=2，BC=4-x，OC=2-x，BE=2OC=4-2x，由此即可解得BF=，从而可得EF=BF-BE=，这样即可把BE•EF用含x的代数式表达出来，化简配方即可求得所求答案了.

详解：

（1）如图1，连接OE．

∵，

∴∠BOE=∠EOD，

∵OD∥BF，

∴∠DOE=∠BEO，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠FCB=90°，

∴∠F=30°；

（2）如图1，过O作OM⊥BE于M，

∵OB=OE，

∴BE=2BM，

∵OD∥BF，

∴∠COD=∠B，

在△OBM与△DOC中 ，

∴△OBM≌△DOC，

∴BM=OC，

∴BE=2OC；

（3）∵OD∥BF，

∴△COD∽△CBF，

∴，

∵AC=x，AB=4，

∴OA=OB=OD=2，

∴OC=2﹣x，BE=2OC=4﹣2x，

∴，

∴BF=，

∴EF=BF﹣BE=，

∴BE•EF=，

∴当时，最大值=9．