Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0），B（0，1）．

（1）求点C的坐标；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．

（3）若把上一问中的反比例函数记为y₁，点B′，C′所在的直线记为y₂，请直接写出在第一象限内当y₁＜y₂时x的取值范围．

Answer

（1）C（﹣3，2）；（2）y1=， y2=﹣x+3； （3）3＜x＜6．

【解析】分析：

（1）过点C作CN⊥x轴于点N，由已知条件证Rt△CAN≌Rt△AOB即可得到AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3结合点C在第二象限即可得到点C的坐标；

（2）设△ABC向右平移了c个单位，则结合（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c，2）、（c，1），再设反比例函数的解析式为y1=，将点C′，B′的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待定系数法即可求得两个函数的解析式了；

（3）结合（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案.

详解：

（1）作CN⊥x轴于点N，

∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，

∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，

∴∠CAN=∠OAB，

∵A（﹣2，0）B（0，1），

∴OB=1，AO=2，

在Rt△CAN和Rt△AOB，

∵ ，

∴Rt△CAN≌Rt△AOB（AAS），

∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，

又∵点C在第二象限，

∴C（﹣3，2）；

（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1），

设这个反比例函数的解析式为：y1=，

又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=，得﹣6+2c=c，

解得c=6，即反比例函数解析式为y1=，

此时C′（3，2），B′（6，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，

∵ ，

∴ ，

∴直线C′B′的解析式为y2=﹣x+3；

（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（6，1），

∴若y1＜y2时，则3＜x＜6．