Question

如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

(1)求证：△AEC≌△ADB；

(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2-2

【解析】试题分析: （1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；

（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD-DF求出BF的长即可．

试题解析:

(1)证明：由旋转的性质得△ABC≌△ADE，且AB＝AC，

∴AE＝AD＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，

即∠CAE＝∠BAD.

在△AEC和△ADB中，

∵AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB，

∴△AEC≌△ADB(SAS)；

(2)∵四边形ADFC是菱形，

∴DF＝AC＝AB＝2，AC∥DF.

又∵∠BAC＝45°，

∴∠DBA＝∠BAC＝45°.

由(1)可知AB＝AD，

∴∠DBA＝∠BDA＝45°，

∴△ABD为直角边长为2的等腰直角三角形，

∴BD2＝2AB2，

即BD＝2，

∴BF＝BD－DF＝2－2.