Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在线段AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：　    　．

    

备用图

Answer

（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当 时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点的位置分为两种大情况：点在边上时或当点在的延长线上时．同时还要特别注意与线段只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．

试题解析：(1)证明：∵矩形ABCD，

∴AD∥BC.

∴∠PAF=∠AEB.

又∵PF⊥AE，

∴△PFA∽△ABE.

(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，

则有PE∥AB

∴四边形ABEP为矩形，

∴PA=EB=3，即x=3.

情况2,当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF.

∴PE=PA.

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点，

即

∴满足条件的x的值为3或

(3) 或