Question

已知α+β=1，αβ=﹣1．设S₁=α+β，S₂=α²+β²，S₃=α³+β³，…，S_n=αⁿ+βⁿ,

（1）计算：S₁=　   　，S₂=　   　，S₃=　   　，S₄=　   　；

（2）试写出S_n﹣2、S_n﹣1、S_n三者之间的关系；

（3）根据以上得出结论计算：α⁷+β⁷．

Answer

（1）1，3，4，7；（2）Sn=Sn﹣1+Sn﹣2；（3）29．

【解析】分析：（1）运用平方公式和立方公式变形成含α+β和αβ的形式求解；

（2）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，则有α2=α+1，β2=β+1，再代入计算即可；

（3）根据（2）将α7+β7变形成3S4+2S3的形式，再代入计算即可.

详【解析】

（1）∵α+β=1，αβ=﹣1．

∴S1=α+β=1．

S2=α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=1+2=3．

S3=α3+β3=（α+β）（α2﹣αβ+β2）=（α+β）2﹣3αβ=1+3=4．

S4=α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2β2=9﹣2=7．

故答案为：1，3，4，7；

（2）由（1）得：Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．

证明：∵α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两根，

∴有：α2=α+1，β2=β+1，

Sn﹣1+Sn﹣2=αn﹣1+βn﹣1+αn﹣2+βn﹣2

=

=

=αn+βn

=Sn．

故Sn=Sn﹣1+Sn﹣2．

（3）由（2）有：

α7+β7=S7

=S6+S5

=S5+S4+S4+S3

=S4+S3+2S4+S3

=3S4+2S3

=3×7+2×4

=29．