Question

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB＝5，DE＝2，BD＝12，设CD＝x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C在BD上什么位置时，AC＋CE的值最小？

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

Answer

（1）（2）（3）25

【解析】分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值．

详【解析】

(1)

(2)当点C是AE和BD交点时，AC＋CE的值最小．

∵AB∥ED，AB＝5，DE＝2，

∴ ，

又∵BC＋CD＝BD＝12，则BC＝CD，

∴CD＋CD＝12，解得CD＝，BC＝.

故点C在BD上距离点B的距离为时，AC＋CE的值最小

(3)如图，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝4，ED＝3，DB＝24，连接AE交BD于点C，

∵AE＝AC＋CE＝

∴AE的长即为代数式的最小值．

过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝4，AF＝BD＝24，

所以AE＝＝25，

即AE的最小值是25.即代数式的最小值为25