Question

如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE=∠BAD．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：DF=DG；

（3）若∠ADG=45°，DF=1，则有两个结论：①AD•BD的值不变；②AD－BD的值不变，其中有且只有一个结论正确，请选择正确的结论，证明并求其值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）正确的结论：AD﹣BD的值不变，证明见解析，AD﹣BD=.

【解析】试题分析：（1）根据三角形内心的性质得出∠DBC=∠DBE，进而根据已知求得∠DBC=∠BAD，根据圆周角定理即可证得从而求得AB⊥BC，证得结论；
（2）连接，根据圆内接四边形外角的性质得出由三角形外角的性质求得证得 进而求得 由三角形内心的性质得出 然后根据AAS证得△DEF≌△DEG,从而证得
（3）在AD上截取DH=BD，连接BH、BG，证得是等腰直角三角形，得出然后证得△ABH∽△GBD，得出求得即可求得

试题解析：(1)证明：∵D为△BCE内心，

∴∠DBC=∠DBE，

∵∠DBE=∠BAD.

∴∠DBC=∠BAD，

∵AB是的直径，

∴

∴

∴

即

∴AB⊥BC，

∴BC是的切线；

(2)证明：如图1，连接DE，

∵∠DBC=∠BAD，∠DBC=∠DBE，

∴∠DBE=∠BAD，

∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE，

∴∠BFD=∠ABD，

∵∠DGC=∠ABD，

∴∠BFD=∠DGC，

∴∠DFE=∠DGE，

∵D为△BCE内心，

∴∠DEG=∠DEB，

在△DEF和△DEG中

，

∴△DEF≌△DEG(AAS)，

∴DF=DG；

(3)AD−BD的值不变；

如图2，在AD上截取DH=BD，连接BH、BG，

∵AB是直径，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴∠AHB=∠BDG，

∵∠BAD=∠BGD，

∴△ABH∽△GBD，

∴

∵DG=1，

∴

∵AD−BD=AD−DH=AH，

∴