Question

如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；

（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．

①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）

②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；

③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．

    

Answer

（2t，0） （（2+）t，0）

【解析】分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；

（2）①先用含t的代数式表示出OP，再利用锐角三角函数表示出PD，进而表示出OQ即可得出结论；

②分⊙P与AB相切时，⊙P与BC相切时两种情况，利用直线和圆相切的性质建立方程求解即可；

③分0＜t≤1，1＜t≤，＜t＜2三种情况，利用几何图形的面积公式即可得出结论．

详【解析】
（1）因为抛物线经过原点O，所以设抛物线解析式为y=ax2+bx．

又因为抛物线经过A（1，1），B（3，1），

所以有解得，

所以抛物线解析式为y=﹣x2+x

（2）①由运动知，OP=2t，

∴P（2t，0），

∵A（1，1），

∴∠AOC=45°，

∵PD⊥OA，

∴PD=OPsin∠AOC=t，

∵PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q，

∴PQ=PD=t，

∴OQ=OP+PQ=2t+t=（2+）t

∴Q（（2+）t，0），

故答案为（2t，0），（（2+）t，0）；

②当⊙P与AB相切时， t=1，所以t=；

当⊙P与BC相切时，即点Q与点C重合，所以（2+）t=3，解得t=．

（3）①当0＜t≤1，如图1，重叠部分的面积是S△OPQ，

过点A作AF⊥x轴于点F，

∵A（1，1），

在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，

在Rt△OPQ中，OP=2t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=2tcos45°=t，

∴S=（t）2=t2，

②当1＜t≤，如图2，设PQ交AB于点G，

作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，

则四边形OAGP是等腰梯形，PH=GH=AF=1，

重叠部分的面积是S梯形OAGP．

∴AG=FH=OP﹣PH﹣OF=2t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（2t+2t﹣2）×1=2t﹣1．

③当＜t＜2，如图3，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，

重叠部分的面积是S五边形OAMNC．

因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=2t，

∴CN=PC=OP﹣OC=2t﹣3，

∴BM=BN=1﹣（2t﹣3）=4﹣2t，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣2t）2=﹣2t2+8t﹣．

即：S=．