Question

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．

求证：（1）四边形BCEF是菱形；

（2）.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：（1）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出EF=BF=AB，进而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“内错角相等，两直线平行”可得出EF∥BC，结合AB∥CD可得出四边形BCEF是平行四边形，再由邻边EF=BF即可证出四边形BCEF是菱形；

（2）根据菱形的性质可得出BC=BF，结合BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，结合∠D=∠AEB=90°可证出△EDA∽△AEB，根据相似三角形的性质可得出BE•AE=AD•BA，代入BA=2BC即可证出结论．

详解：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．

∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°．

∵F是AB的中点，∴EF=BF=AB，∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，∴EF∥BC．

∵AB∥CD，∴四边形BCEF是平行四边形．

∵EF=BF，∴四边形BCEF是菱形．

（2）∵四边形BCEF是菱形，∴BC=BF．

∵BF=AB，∴AB=2BC．

∵AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB．

∵∠D=∠AEB=90°，∴△EDA∽△AEB，∴=，∴BE•AE=AD•BA，∴BE•AE=2AD•BC．