Question

如图1，在矩形ABCD中，AD＝3，DC＝4，动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点D向点C运动，过点P作PQ∥AC交AD于Q，将△PDQ沿PQ翻折得到△PQE. 设点P的运动时间为t（s）．

（1）当点E落在边AB上时，t的值为        ；

（2）设△PQE与△ADC重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式；

（3）如图2，以PE为直径作⊙O．当⊙O与AC边相切时，求CP的长．

Answer

（1）（2）s=（当0＜t≤2），s=（2＜t≤4）（3）

【解析】分析：（1）过P作PF⊥BA于F，由∠QPD=∠ACD，得到∠QPD和∠ACD的三角函数相等，得到QD=，PQ=，EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，由勾股定理得到EF=，由同角的余角相等，得到∠FEP=∠EQA，得到cos∠FEP=cos∠EQA，即，解方程即可得到结论；

（2）当E刚好在CA上时，如图3，由平行线的性质和折叠的性质得到∠1=∠4=∠2=∠3，得到PC=PE=PD=t，即2t=4，解方程即可．然后分两种情况讨论：

①当时， S=S△EPQ=S△PDQ即可得到结论；

②当时，如图4，由（2）可知，PM=PC=4-t，得到EM=t-（4-t）=2t－4，由相似三角形的性质得到 ，由 S=即可得到结论．

（3）如图，设切点为H，作PG⊥AC于G，连接HO并延长交PQ于F．设CP＝5x，则PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，由OF＝ OP， 得到HF＝OH＋OF=（ 4－5x ） ，从而得到（ 4－5x ）＝3x，求出x的值 ，由CP＝5x即可得到结论．

详【解析】
（1）过P作PF⊥BA于F．在△ADC中，sin∠ACD=，cos∠ACD=．∵PQ∥CA，∴∠QPD=∠ACD，tan∠ACD=．∵PD=PE=t，∴QD=，PQ=，∴EQ=QD=，AQ=．在△EFP中，∵PF=3，PE=t，∴EF=．∵∠PEQ=90°，∴∠FEP+∠EPF=90°，∠AEQ+∠EQA=90°，∴∠FEP=∠EQA，∴cos∠FEP=cos∠EQA，∴，解得：t=；

（2）当E刚好在CA上时，如图3．∵PQ∥CA，∴∠1=∠4，∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴PC=PE．∵PE=PD=t，∴PC=PD=t，∴2t=4，解得：t=2．

①当时，如图1，S=S△EPQ=S△PDQ=PD•QD==；

②当时，如图4，由（2）可知，PM=PC=4-t，∴EM=t-（4-t）=2t－4．∵AC∥PQ，∴△EMN∽△EPQ，∴ ．∵S△EPQ=S△PDQ=PD•QD==，∴ ，∴S==-=．

综上所述：S=

（3）如图，设切点为H，作PG⊥AC于G，连接HO并延长交PQ于F．

设CP＝5x，则PG＝3x，PD＝PE＝4－5x，

∵OF＝ OP， ∴HF＝OH＋OF＝OP＋OF＝ OP＝ PD＝（ 4－5x ）

∴（ 4－5x ）＝3x，解得：x＝ ，∴CP＝5x＝．