Question

函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），点C（x，y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为        ；

（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：

如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作Rt△ABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少？

Answer

（1）6（2）4+2

【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；

（2）根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，可知点C在以AB为直径的⊙D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+，1+），代入直线y=﹣x+m，可得m=4+2，即可得出x+y的最大值为4+2．

详解：（1）6；

（2）由题可得，点C在以AB为直径的⊙D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CD．

∵A（6，0）、B（0，2），∴D（3，1），∴OD==，∴CD=．

根据CD⊥EF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，∴C（3+，1+），代入直线y=﹣x+m，可得：1+=﹣（3+）+m，解得：m=4+2，∴x+y的最大值为4+2．故答案为：4+2．