Question

如图，点C在⊙O上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若CD=8，AC=．

（1）求弦AB的长；

（2）求sin∠ABO的值．

 

Answer

（1）8；（2）．

【解析】试题分析：

（1）由已知条件结合垂径定理易得CD⊥AB，从而可得∠ADC=90°，AB=2AD，结合AC=，CD=8可得AD=4，由此即可得到AB=8；

（2）设⊙O的为r，则由题意可得OB=r，OD=CD-r=8-r，结合BD=AD=4在Rt△OBD中由勾股定理建立方程，解方程即可求得x的值，从而可得OB和OD的长，这样由正弦函数的定义即可求得sin∠ABO的值.

试题解析：

（1）∵CD过圆心O，，

∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，

∵CD=40，AC=4，∠ADC=90°，

∴AD=，

∴AB=2AD=8；

（2）设圆O的半径为r，则OD=8﹣r，

∵BD=AD=4，∠ODB=90°，

∴BD2+OD2=OB2，即42+（8﹣r）2=r2解得，r=5，OD=3，

∴sin∠ABO=．