Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．

实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）

（1）作∠DAC的平分线AM；

（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF

探究与猜想：若∠BAE=36°，求∠B的度数.

Answer

（1）见解析；（2）48°

【解析】试题分析：

（1）以点A为圆心，任意长为半径作弧交AD、AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间的距离的一半为半径作弧，两弧交于一点M，过点M作射线AM，则射线AM为所求角平分线；

（2）分别以点A、C为圆心，大于AC的一半为半径作弧，两弧在AC的两侧各交于一点，过这两点作直线，角AM于点F，交BC于点E，则直线EF为AC的垂直平分线；连接CF，由已知条件先证∠CAM=∠ACB，再证△AOF≌△COE，由此可得OE=OF，从而可得四边形AECF是菱形，即可得到AE=CE，进一步可得∠EAC=∠ACB=∠B结合∠BAE=36°，结合三角形内角和定理即可得到∠B==48°.

试题解析：

（1）如下图，图中射线AM为所求角平分线：

（2）如下图所示，直线EF为AC的垂直平分线，连接CF，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，

∴四边形AECF的形状为菱形．

∴EA=EC，

∴∠EAC=∠ACB=∠B==48°，

∴∠B=48°.