Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s．FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）连结EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；

（2）连结EP，设△EPC的面积为ycm²，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；

（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．

Answer

（1）t=2s；（2）；3；（3）2s、s或s．

【解析】试题分析：根据∠ADC=∠BCD=90°，FQ⊥BC得出四边形FQCD为矩形，则CQ=DF=t，EQ=BC－BE=8－3t，根据平行四边形的性质得，出t的值；根据Rt△ABC求出∠ACB的正切值，然后跟Rt△PQC中∠ACB的正切值得出PQ的长度，然后得出y与t的函数关系熟，求出最值；根据三角形相似得出t的值．

试题解析：（1）在矩形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，∵FQ⊥BC，∴∠FQC=90°．∴四边形FQCD为矩形．

∴CQ=DF=t．∴EQ=BC-BE-CQ=8-2t-t=8-3t． ∵四边形EQDF为平行四边形， ∴EQ=DF．

∴t=8-3t． ∴t=2（s）；

（2）在Rt△ABC中，tan∠ACB=， ∴在Rt△PQC中，tan∠ACB=． ∴PQ= ．

∴． ∴．∴． ∴y的最大值为3；

（3）若△EPQ与△ADC相似，t的值为2s、s或s．