Question

△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.

（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（不需证明）；

（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.

Answer

(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）

【解析】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）不发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3, BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.

本题解析：

(1)AE=BD，AE⊥BD ；

(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：

∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°

∴AC=BC, ∠ACE=∠BCD，EC=DC

∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, ∠EAC=∠DBC

∵∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG

∴∠DBC+∠BFG=90°, ∴∠BGF=90°,

∴AE⊥BD

(3) 过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°

∵∠ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=

∵∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠CBE+∠ACD=180°

∵∠CBE+∠BCM=180°, ∴∠BCM=∠ACD

∵∠M=∠ADC=90°, AC=BC

∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4

∵CE=CD=3，∴EM=6，

∴BE=