Question

如图，抛物线y=﹣+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）在对称轴的左侧是否存在点M使四边形OMPB的面积最大，如果存在求点M的坐标；不存在请说明理由．

Answer

（1）AB的解析式为y=﹣x+2，抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）N点坐标为（）；（3）不存在．

【解析】试题分析：（1）用待定系数法分别求出直线AB的解析式和抛物线的解析式即可；（2）根据题意可得N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣ m+2），即可得NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，再由NP=PM，可得方程﹣m2+4m=﹣m+2，解方程即可求得m的值，从而求得点N的坐标；（3）在对称轴的左侧不存在点M使四边形OMPB的面积最大，根据题意和已知条件求出S梯形OMPB和m的函数关系式，利用二次函数的性质判定即可.

试题解析：

（1）设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，

∴N（m，﹣m2+m+2），P（m，﹣m+2），

∴NP=﹣m2+4m，PM=﹣m+2，

而NP=PM，

∴﹣m2+4m=﹣m+2，解得m1=3（舍去），m2=，

∴N点坐标为（，）；

（3）在对称轴的左侧不存在点M使四边形OMPB的面积最大，理由如下：

B（0，2），M（m，0），MN⊥x轴，

∴P（m，﹣m+2），

S梯形OMPB=（PM+OB）•OM=（﹣m+2+2）m

=﹣m2+2m

=﹣（m﹣3）2+3

∵对称轴是x=﹣=，M在对称轴的左侧，

∴0＜m＜，

∴m的值无法确定，

在对称轴的左侧不存在点M使四边形OMPB的面积最大．