Question

如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．

Answer

（1）答案见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）已知BD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠DBE；再由DE∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠BDE，所有∠DBE=∠BDE，根据等腰三角形的性质可得BE=DE；再由BE=AF，可得AF=DE；根据一组对边平行且相等的四边形即可判定四边形ADEF是平行四边形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．

试题解析：

（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBE，

∵DE∥AB，

∴∠ABD=∠BDE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE；

∵BE=AF，

∴AF=DE；

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠EBD=30°，

∴DG=BD=×4=2，

∵BE=DE，

∴BH=DH=2，

∴BE==，

∴DE=，

∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=．