Question

如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣3；（2）直线BD的解析式为y=x﹣9；（3）符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．

【解析】分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；

（3）本题要分两种情况进行讨论：

①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．

②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．

综上所述可求出符合条件的P点的值．

详【解析】
（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴，

解得OC=3（负值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，

∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣9），

即y=x2﹣x﹣3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

连接O′D交BC于点M，

则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴O′D⊥x轴

∴D（4，﹣5）．

∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）

∴

解得

∴直线BD的解析式为y=x﹣9．

（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，

设射线DP交⊙O′于点Q，则．

分两种情况（如图所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，

因此，点Q1（7，﹣4）符合，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣．

解方程组

得或

∴点P1坐标为（，），坐标为（，）不符合题意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．

解方程组，得，

∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．

∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．