Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，0），D（，2，0），以A为旋转中心将线段AB逆时针旋转90°形成线段AC．

（1）求出点C坐标及△ABC的面积；

（2）如图2，以AD为腰，在直线AD左侧作等腰直角△ADE，且∠DAE为直角．连接CE交y轴于点F．

①求出F点坐标；

②直接写出点E到直线AC的距离．

提示：本题的解答过程不允许使用勾股定理．

Answer

（1）S△ABC=；（2）F（0，）；②点E到AC的距离为4．

【解析】分析：（1）先求出OA，OB，进而判断出△ACM≌△BAO（AAS），求出OM，CM即可得出点C坐标，最后用面积的差即可得出△ABC的面积；

（2）①同（1）的方法求出点E的坐标，进而求出直线CE的解析式即可得出结论；

（3）先求出直线AC解析式，进而得出直线EG的解析式，联立求出点G的坐标，最后用平面坐标系内两点间的距离公式即可得出结论．

详【解析】
（1）如图1，

∵A（0，4），B（3，0），

∴OA=4，OB=3，

过点C作CM⊥OA于M，

∴∠CAM+∠ACM=90°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AC=AB，∠BAC=90°

∴∠OAB+∠CAM=90°，

∴∠ACM=∠OAB，

在△ACM和△BAO中，

，

∴△ACM≌△BAO（AAS），

∴AM=OB=3，CM=OA=4，

∴OM=OA+AM=7，

∴C（4，7），

S△ABC=S梯形OBCM-S△ACM-S△AOB=（3+4）×7-×3×4-×3×4=；

（2）①如图2，过点C作CM⊥OA于M，过点E作EN⊥AO于N，

同（1）的方法得出，E（-4，6），

由（1）知，C（4，7），

设直线CE的解析式为y=kx+b，

∴，

∴，

∴F（0，）；

②如图3，过点E作EG⊥AC于G，

由（1）知，C（4，7），

∵A（0，4），

∴直线AC的解析式为y=x+4①，

∵EG⊥AC，且E（-4，6），

∴直线EG的解析式为y=-x+②，

联立①②得，

，

∴G（-，），

∴EG=，

∴点E到AC的距离为4．