Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E．过点D作DF⊥AC交AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S阴影= 16π﹣32．

【解析】试题分析：

（1）连接OD，AD，由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°，结合AB=AC可得点D是BC的中点，结合点O是AB中点可得OD是△ABC的中位线，由此可得OD∥AC，结合DF⊥AC即可得到DF⊥OD，由此可得DF是⊙O的切线；

（2）连接OE，由DF⊥AC于点F结合∠CDF=22.5°可得∠C=67.5°，这样结合AB=AC可得∠B=67.5°，从而可得∠BAC=45°，再结合AO=EO即可得到∠AOE=90°，这样就可由S阴影=S扇形AOE-S△AOE求出S阴影的大小了.

试题解析：

（1）连接OD，AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，∠ADB=90°，

∴BD=CD，

∵AO=BO，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴半径OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线．

（2）连接OE．

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠C=67.5°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

又∵⊙O的半径为8，

∴S阴影=S扇形AOE﹣S△AOE=16π﹣32．