Question

问题背景

如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．

类比探究

如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．

Answer

(1)见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2

【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、

（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；

（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.

试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，

∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，

∴∠ABD=∠BCE，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG=60°，

在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，

在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，

∴c2=a2+ab+b2．