Question

定义：如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（点P与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP²+BP²=AB²，则称点P为抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=–x²+1的勾股点的坐标；

（2）如图2，已知抛物线C：y=ax²+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S_△ABQ=S_△ABP的Q点（异于点P）的坐标．

Answer

（1）（0，1）； （2）y=–x2+x；（3）（3，）或（2+，–）或（2–，–）

【解析】试题分析:(1)根据抛物线勾股点的定义可以求解,(2)作PG⊥x轴,由点P的坐标求得:AG=1,PG=,由三角函数可得:,可知∠PAG=60°从而求得AB=4,即B(4,0),待定系数法可求解得,(3)由且两个三角形同底,可知点Q到x轴的距离为,即可求解.

(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)．

(2)如图，作PG⊥x轴于点G.∵点P的坐标为(1，)，∴AG＝1，PG＝，∴PA＝＝＝2.∵tan∠PAB＝＝，∴∠PAG＝60°.在Rt△PAB中，AB＝＝＝4，∴点B的坐标为(4，0)．

设y＝ax(x－4)，将点P(1，)代入得a＝－，∴y＝－x(x－4)＝－x2＋x.

(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为，则有－x2＋x＝，解得x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，)．

②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－，则有－x2＋x＝－，解得x1＝2＋，x2＝2－，∴点Q的坐标为(2＋，－)或(2－，－)．

综上所述，满足条件的点Q有3个，分别为(3，)或(2＋，－)或(2－，－)．