Question

如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.

（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；

（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.

Answer

（1）；（2）∠AEC=105°；（3）边BC的长为2或.

【解析】试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出结论．

（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

解△ABH即可得到结论．

②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论．

试题解析：【解析】
（1）过A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形．

在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=，∴，

则

（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．

②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又，

则（舍负）

易知∠ACE<90°，所以边BC的长为．

综上所述：边BC的长为2或．