Question

如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.

（1）求证：BE=BF；

（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质得到AB=CB，AD=CD，∠A=∠C，再根据中点的定义得到AE=CF，根据SAS可证△BAE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到BE=BF即可；

（2）作辅助线，先根据线段垂直平分线的逆定理证明BD是EF的垂直平分线，由等边三角形三线合一得：EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，设EG=x，则BE=2x，BG=x，根据中位线定理得：AO=2EG=2x，OB=x，证明△BHO∽△BEG，列比例式可得OH= ，BH=x，再求AH=x，则AH=BH，可得∠DAB=60°，∠ADC=120°，从而得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AB=BC=AD=CD．∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点，∴AE=AD，CF=CD，∴AE=CF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF；

（2）如图，连接AC、BD交于点O，设BD与EF交于G，AC与BE交于H，则AC⊥BD．∵BE=BF，ED=DF，∴BD是EF的垂直平分线，∴EG=FG，∠EBG=∠EBF=30°，Rt△BEG中，设EG=x，则BE=2x，BG=x．∵EG∥AO，E为AD的中点，∴G是OD的中点，∴AO=2EG=2x，OB=x．∵OH∥GE，∴△BHO∽△BEG，∴，∴==，∴OH= ，BH=x，∴AH=AO﹣OH=2x﹣x=x，∴AH=BH，∴∠HAB=∠ABH．∵∠BHC=∠HAB+∠ABH=60°，∴∠HAB=30°，∴∠DAB=60°，∴∠ADC=120°，∴∠ADC=2∠DAB，即∠D=2∠A．