Question

如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF．

（1）证明：△BDE∽△FDA；

（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．

Answer

（1）证明见解析;（2）直线AF与⊙O相切.

【解析】试题分析：（1）根据题意可知AE=ED，FB=BD，从而得到，然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证明；

（2）通过证明△OAB∽△OAC可证明AO⊥BC，再利用“同位角相等，两直线平行”可证明EF∥FA，从而得到AO⊥FA，即可证明.

试题解析：（1）在△BDE和△FDA中，

∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，FD=FB+BD

∴，

又∵∠BDE=∠FDA，

∴△BDE∽△FDA．

（2）直线AF与⊙O相切．

证明：连接OA，OB，OC，

∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，

∴△OAB≌△OAC，

∴∠OAB=∠OAC，

∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线，

∴=，

∴AO⊥BC，

∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，

∴BE∥FA，

∵AO⊥BE，∴AO⊥FA，

∴直线AF与⊙O相切．