Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC=∠BPQ．

（1）当QD=QC时，求∠ABP的正切值；

（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；

（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角？若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ;(2) （0＜x＜2）;(3)见解析

【解析】试题分析：（1）延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x，由∠PBC＝∠BPQ可得EB=EP，再根据AD//BC，QD＝QC可得PD＝CE，PQ＝QE，从而得BE＝EP= x+2， QP＝，在Rt△PDQ中，根据勾股定理可得，从而求得的长，再根据正切的定义即可求得；

（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，通过证明Rt△PAB≅ Rt△PHB，得到AP = PH =x，通过证明Rt△BHQ≅ Rt△BCQ，得到QH = QC= y，在Rt△PDQ中，根据 勾股定理可得PD2+QD2=PQ2，代入即可求得；

（3）存在，根据（2）中的两对全等三角形即可得.

试题解析：（1）延长PQ交BC延长线于点E，设PD=x，

∵∠PBC＝∠BPQ，

∴EB=EP，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD//BC，∴PD∶CE= QD∶QC= PQ∶QE，

∵QD＝QC，∴PD＝CE，PQ＝QE，

∴BE＝EP= x+2，∴QP＝，

在Rt△PDQ中，∵，∴，解得，

∴，∴；

（2）过点B作BH⊥PQ，垂足为点H，联结BQ，

∵AD//BC，∴∠CBP＝∠APB，∵∠PBC＝∠BPQ，∴∠APB＝∠HPB，

∵∠A＝∠PHB＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB，∴Rt△PAB Rt△PHB，

∴AP = PH =x，

∵BC = BH=2，BQ = BQ，∠C＝∠BHQ＝90°，

∴Rt△BHQ Rt△BCQ，∴QH = QC= y，

在Rt△PDQ中，∵，∴，

∴；

（3）存在，∠PBQ＝45°．

由（2）可得， ， ，

∴．