Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB．

（1）求证：AP为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；

（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）S△ABC=或；（3）b2=ac．

【解析】试题分析：（1）欲证明PA是切线，只要证明PA⊥OA即可；
（2）分两种情形分别求解即可；
（3）只要证明AD∥OB，可得△AED∽△OEB，推出，再推出可得=（）2，b2=ac．

试题解析：

（1）证明：∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠P=∠BCD，∠BAC=∠BDC，

∴∠P=∠BAC，

∵AC是直径，

∴∠ABC=∠ABP=90°，

∴∠P+∠BAP=90°，

∴∠BAP+∠BAC=90°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线．

（2）【解析】
①当∠OED=90°时，CB=CD=BD，△ABC是等边三角形，可得∠ACB=30°，

∵AC=2，

∴AB=1，BC=，

∴S△ABC=．

②当∠DOE=90°时，易知∠AOB=45°，△ABC的AC边上的高=，

∴S△ABC=．

（3）∵BD=BC，OD=OC，BO=BO，

∴△BOD≌△BOC，

∴∠OBD=∠OBC，

∵OB=OD=CO，

∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB，

∵∠ADB=∠OCB，

∴∠ADB=∠OBD，

∴AD∥OB，

∴△AED∽△OEB，

∴ ，

∵，

∴=（）2，

∴b2=ac．