Question

如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为__________．

Answer

【解析】分析：首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．

解答：【解析】
设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=1/2AD，∠FMD=∠EMD=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠NBD=∠ADB，

∴BN=DN，

设AN=x，则BN=DN=4-x，

∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，

∴32+x2=（4-x）2，

∴x=7/8，

即AN=7/8，

∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND，

∴△ANB≌△C′ND（AAS），

∴∠FDM=∠ABN，

∴tan∠FDM=tan∠ABN，

∴AN/AB=MF/MD，

∴7/(8/3)=MF/2，

∴MF=7/12，

由折叠的性质可得：EF⊥AD，

∴EF∥AB，

∵AM=DM，

∴ME=1/2AB=3/2，

∴EF=ME+MF=3/2+7/12=25/12．