Question

如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC相交于点E，与AB相交于点F，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若点E为弧AD的中点，探究线段BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点E为弧AD的中点，CD=，求弧DF与线段BD，BF所围成的阴影部分的面积．

Answer

（1）答案见解析；（2）BD= 2CD；（3）

【解析】试题分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．

（2）连接DE，OE．先四边形OAED为菱形，再证明△OAE是等边三角形，由等边三角形的性质得∠OAD=∠CAD=30°，从而AD=BD=2CD；

（3）在Rt△ODB中，由勾股定理列方程求出OD的长，然后根据S阴影=S△ODB﹣S扇形ODF计算即可.

【解析】
（1）证明：连接OD．则∠ODB=∠C=90°，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO．

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO．

∴∠CAD=∠OAD，

即AD平分∠BAC．

（2）连接DE，OE．

∵E为的中点，

∴=，

∴AE=DE．

∴∠CAD=∠ADE．

∵∠CAD=∠OAD，

∴∠OAD=∠ADE，

∴DE∥OA．

又AC∥OD，OA=OD，

∴四边形OAED为菱形

∴AE=OA=OE．

∴∠OAC=60°．

∵∠C=90°，∠CAD=∠OAD，

∴∠B=90°﹣∠OAC=30°，

∠OAD=∠CAD=30°．

∴，∠B=∠OAD．

∴BD=AD=2CD．

（3）∵AC∥OD，∠OAC=60°，

∴∠DOB=∠OAC=60°．

∵∠ODB=90°，∠B=30°，

∴OB=2OD．

∵CD=，BD=2CD，

∴BD=．

在Rt△ODB中，

由勾股定理得，，

解得 OD=±2（负值舍去）．

∴S阴影=S△ODB﹣S扇形ODF

=

= .