Question

如图①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为（5，5），AB=10，点P从点A出发，沿A→B→C的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），则点P的运动速度为      ；

（2）求（1）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S的最大值及S取最大值时点P的坐标；

（3）如果点P，Q保持（1）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使∠OPQ=90°的点P有      个．

Answer

（1）2个单位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），当t=时，S有最大值为，此时P（）；（3）2．

【解析】试题分析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时即可求出点P的运动速度.

过P作轴，表示出 配方求出最大值即可.

分两种情况进行讨论即可.

试题解析：（1）由图形可知，当点P运动了5秒时，它到达点B，此时 因此点P的运动速度为10÷5=2个单位/秒，

点P的运动速度为2个单位/秒．

故答案是：2个单位/秒；

（2）如图①，过P作轴，

∵点P的运动速度为2个单位/秒．

∴t秒钟走的路程为2t，即

∵顶点B的坐标为

∴

∴

∴

∴ 又

∴ 即为中OQ边上的高，

而 可得

∴

∵

∴当时，S有最大值为，此时P.

（3）当点P沿这两边运动时， 的点P有2个．

①当点P与点A重合时，

当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度，

作交y轴于点M，作轴于点H，

由得:

所以，从而

所以当点P在AB边上运动时， 的点P有1个．

②同理当点P在BC边上运动时，可算得，

而构成直角时交y轴于

所以从而的点P也有1个．

所以当点P沿这两边运动时， 的点P有2个．

故答案是：2．