Question

点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的  顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a＝．其中正确的是（   ）

A. ②④    B. ②③    C. ①③④    D. ①②④

Answer

A

【解析】∵点A,B的坐标分别为(−2,3)和(1,3)，

∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,3)，

又∵抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，

∴c⩽3,(顶点在y轴上时取“=”),故①错误;

∵抛物线的顶点在线段AB上运动，

∴当x<−2时，y随x的增大而增大，

因此，当x<−3时，y随x的增大而增大，故②正确；

若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为−2−4=−6，故③错误；

根据顶点坐标公式, =3，

令y=0,则ax² +bx+c=0，

CD² =(−) ² −4×=，

根据顶点坐标公式, =3，

∴=−12，

∴CD²=×(−12)= ，

∵四边形ACDB为平行四边形，

∴CD=AB=1−(−2)=3，

∴=3²=9，

解得a=−，故④正确；

综上所述，正确的结论有②④.

故选A.