Question

如图，抛物线y₁=x²+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，﹣2），且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．

（1）求抛物线y₁的解析式；

（2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y₁上？请说明理由．

（3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE﹣PF|最大？若存在，试写出|PE﹣PF|最大值．

Answer

（1）y1=x2+2x﹣2；（2）见解析；（3）6﹣2．

【解析】试题分析：（1）先由抛物线对称轴方程可求出b=2，再把点C（0，﹣2）代入y1=x2+bx+c可得c=2，所以抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2；

（2）过O′点作O′H⊥x轴于H，如图1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），在Rt△OCD中利用三角函数可计算出∠ODC=60°，再利用折叠的性质得O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，所以∠O′DH=60°，接着在Rt△O′DH中利用三角函数可计算出O′H=，利用勾股定理计算出DH=1，则O′（﹣3，﹣），然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断O′点是否在抛物线y1上；

（3）①利用二次函数图象上点的坐标特征设E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），过E作EH⊥x轴于H，连结DE，如图2，则DH=﹣2﹣m，EH=﹣m2﹣2m+2，由（2）得∠ODC=60°，再利用轴对称性质得DC平分∠EDE′，DE=DE′，则∠EDE′=120°，所以∠EDH=60°，于是在Rt△EDH中利用三角函数的定义可得﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），解得m1=2（舍去），m2=﹣4，则E（﹣4，﹣2），接着计算出DE=4，所以DE′=4，于是得到E′（2，0），然后计算x=2时得函数值即可得到F点坐标；

②由于点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，则PE=PE′，根据三角形三边的关系得|PE′﹣PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），于是可判断直线CD上存在点P，使|PE﹣PF|最大，最大值为6﹣2．

试题解析：（1）∵抛物线对称轴x=﹣2，

∴﹣=﹣2，

解得b=2，

∵点C（0，﹣2）在抛物线y1=x2+bx+c上，

∴c=2，

∴抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2；

（2）O点对称点O′不在抛物线y1上．理由如下：

过O′点作O′H⊥x轴于H，如图1，由（1）得D（﹣2，0），C（0，2），

在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=，

∴tan∠ODC==，

∴∠ODC=60°，

∵△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′，

∴O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，

∴∠O′DH=60°，

在Rt△O′DH中，sin∠O′DH=，

∴O′H=2sin60°=，

∴DH==1，

∴O′（﹣3，﹣），

∵当x=﹣3时，y1=x2+2x﹣2=×9+2×（﹣3）﹣2≠﹣，

∴O′点不在抛物线y1上；

（3）①设E（m， m2+2m﹣2）（m＜0），

过E作EH⊥x轴于H，连结DE，如图2，则DH=﹣2﹣m，EH=﹣（m2+2m﹣2）=﹣m2﹣2m+2，

由（2）得∠ODC=60°，

∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，

∴DC垂直平分EE′，

∴DC平分∠EDE′，DE=DE′，

∴∠EDE′=120°，

∴∠EDH=60°，

在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=，

∴EH=HDtan60°，即﹣m2﹣2m+2=（﹣2﹣m），

整理得m2+（4+2）m﹣8=0，解得m1=2（舍去），m2=﹣4，

∴E（﹣4，﹣2），

∴HD=2，EH=2，

∴DE==4，

∴DE′=4，

∴E′（2，0），

而E′F⊥x轴，

∴F点的横坐标为2，

当x=2时，y1=x2+2x﹣2=6﹣2，

∴F（2，6﹣2）；

②∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，

∴PE=PE′，

∴|PE′﹣PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），

∴直线CD上存在点P，使|PE﹣PF|最大，最大值为6﹣2．