Question

矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，点F的坐标为           ；

（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；

（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；

（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

Answer

（1）F（3，4）；（2）8-；（3）7；（4）t的值为或.

【解析】试题分析：（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；

（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；

（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；

（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．

试题解析：解：（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；

（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=AB=4，BO=，∴点B下滑的距离为．

（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．

（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF==5，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴，∴，∴t1=，②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=．

综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或．