Question

如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；

（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

Answer

（1）y=，y=x﹣1；（2）x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（， ），（﹣，﹣）．

【解析】试题分析：（1）设反比例函数解析式为y=，将B点坐标代入，求出反比例函数解析式，将A点坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出点A的坐标，设直线AB 的解析式为y=ax+b，将A与B的坐标代入一次函数解析式求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）根据图像写出答案即可；

（3）分3中情况求解，延长AO交双曲线于点C1，由点A与点C1关于原点对称，求出点点C1的坐标；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，将OB的解析式与C1C2的解析式联立，求出点C2的坐标；A作OB的平行线，交双曲线于点C3，，将AC3的解析式与反比例函数的解析式联立，求出点C3的坐标

【解析】
（1）设反比例函数解析式为y=，

把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，

∴反比例函数解析式为y=；

把A（3，m）代入y=，可得3m=6，

即m=2，

∴A（3，2），

设直线AB 的解析式为y=ax+b，

把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，

解得，

∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；

（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；

（3）存在点C．

如图所示，延长AO交双曲线于点C1，

∵点A与点C1关于原点对称，

∴AO=C1O，

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，

此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；

如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，

∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，

由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，

可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，

把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，

解得b'=，

∴直线C1C2的解析式为y=x+，

解方程组，可得C2（，）；

如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，

设直线AC3的解析式为y=x+ ，

把A（3，2）代入，可得2=×3+ ，

解得=﹣，

∴直线AC3的解析式为y=x﹣，

解方程组，可得C3（﹣，﹣）；

综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．