Question

下列关于函数y=x²﹣6x+10的四个命题，其中真命题的是（　　）

A. 当x=0时，y有最小值10

B. n为任意实数，x=3+n时的函数值大于x=3﹣n时的函数值

C. 若n＞3，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的整数值有（2n﹣4）个

D. 若函数图象过点（a，y₀）和（b，y₀+1），其中a＞0，b＞0，则a＜b

Answer

C

【解析】（1）∵y=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，

∴当x=3时，y有最小值1，故A错误；

（2）当x=3+n时，y=（3+n）2﹣6（3+n）+10，

当x=3﹣n时，y=（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10，

∵（3+n）2﹣6（3+n）+10﹣[（n﹣3）2﹣6（n﹣3）+10]=0，

∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3﹣n时的函数值，故B错误；

（3）∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，

∴当x＞3时，y随x的增大而增大，

当x=n+1时，y=（n+1）2﹣6（n+1）+10，

当x=n时，y=n2﹣6n+10，

∴（n+1）2﹣6（n+1）+10﹣[n2﹣6n+10]=2n﹣5，

∵n是整数，

∴2n﹣5是整数，

∴y的整数值有（2n﹣4）个；故C正确；

（4）∵抛物线y=x2﹣6x+10的对称轴为x=3，1＞0，

∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜3时，y随x的增大而减小，

∵y0+1＞y0，a＞0，b＞0，

∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，

当a＞3，b＞3时，a＜b，

当0＜a＜3，b＞3时，a＜b，故D错误.

故选C.