Question

已知，如图，二次函数y=ax²+bx﹣6的图象分别与x轴与y轴相交于点A（﹣6， 0）、点B，点C（6，6）也在函数图象上．

    

（1）求该二次函数的解析式．

（2）动点P从点B出发，沿着y轴的正方向运动，是否存在某一位置使得∠OAP+∠OAC=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点Q为直线AC下方抛物线上一点，当以点A、B、C、Q为顶点的四边形的面积最大时，求出点Q的坐标．

Answer

（1）抛物线解析式为y=x2+x﹣6；（2）存在．P点坐标为（0，2）或（0，﹣2）；

（3）Q点的坐标为（3，﹣）或（﹣3，﹣）．

【解析】试题分析： 把代入求出即可.

分两种情况进行讨论.

设 则分和两种情况进行讨论.

试题解析：（1）把代入得，

解得

∴抛物线解析式为

（2）存在．

如图1，当点P在OB上，作于H，直线AC交y轴于D，设

设直线AC的解析式为

把代入得 解得

∴直线AC的解析式为

当x=0时， 则

当时， 则

∵

∴为等腰直角三角形，

∴

∴为等腰直角三角形，

∴

∵

∴

∴

∴即

解得，此时P点坐标为

点P关于x轴的对称点P′的坐标为

∵

∴

∴点满足条件，

综上所述，P点坐标为或；

（3）作QM∥y轴交直线AC于点M，连接OQ，

设

则

∴

当时，如图2，

S四边形

，

当x=3时，S四边形ABQC的最大值为，此时

当时，如图3，

S四边形AQBC

，

当x=-3时，S四边形AQBC的最大值为，此时

∴Q点的坐标为或．