Question

如图①，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC、BC上，且四边形DEFG是正方形．

   

（1）试探究线段AE与CG的关系，并说明理由．

（2）如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4．

①线段AE、CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．

②当△CDE为等腰三角形时，求CG的长．

Answer

（1）AE=CG，AE⊥CG，理由见解析；（2）①位置关系保持不变，数量关系变为；

理由见解析；②当△CDE为等腰三角形时，CG的长为或或．

【解析】试题分析： 证明≌即可得出结论.

①位置关系保持不变，数量关系变为证明根据相似的性质即可得出.

分成三种情况讨论即可.

试题解析：（1）

理由是：如图1，∵四边形EFGD是正方形，

∴

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∴

∴≌

∴

∵

∴

∴ 即

（2）①位置关系保持不变，数量关系变为

理由是：如图2，连接EG、DF交于点O，连接OC，

∵四边形EFGD是矩形，

∴

Rt 中，OG=OF，

Rt 中，

∴

∴D、E、F、C、G在以点O为圆心的圆上，

∵

∴DF为的直径，

∵

∴EG也是的直径，

∴∠ECG=90°，即

∴

∵

∴

∵

∴

∴

②由①知：

∴设

分三种情况：

（i）当时，如图3，过E作于H，则EH∥AD，

∴

∴ 由勾股定理得：

∴

（ii）当时，如图4，过D作于H，

∵

∴

∴

∴

∴

∴

（iii）当时，如图5，

∴

∴

综上所述，当为等腰三角形时，CG的长为或或．