Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，求P点坐标？

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x²﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y= x+ (2) P（2，﹣）(3) （3，）或（3，）或（3，2）或（3，﹣）

【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可变形为y= (x+1)(x-3)，从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；

（2）设直线CE的解析式为y=mx-，将点E的坐标代入即可确定直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F，设点P的坐标为（x，x2−x−），求出PF的值，表示出△EPC的面积，再利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标；

（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为FG=FQ、GF=GQ，QG=QF三种情况求解即可.

【解析】
（1）∵y=x2-x-，

∴y= (x+1)(x-3).

∴A（-1，0），B（3，0）.

当x=4时，y=.

∴E（4，），

设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：

，

计算得出：k=，b=，

∴直线AE的解析式为y=x+

（2）设直线CE的解析式为y=mx-，将点E的坐标代入得4m-=，计算出m=.

∴直线CE的解析式为y=x-.

过点P作PF∥y轴，交CE与点F，如图①所示.

设点P的坐标为（x，x2−x−），则点F（x，x−），

则FP=(x−)-(x2−x−)=-x2+x，

∴△EPC的面积=×(-x2+x)×4=-x2+x.

∴当x=2时，△EPC的面积最大.

∴P（2，-）.

（3）如图②所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，

∴点F（3，-）.

∵点G为CE的中点，

∴G（2，）.

∴FG=，.

∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）.

当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，

∴点Q″（3，2）.

当QG=QF时，设点Q1的的坐标为（3，a）.

由两点间的距离公式可以知道：a+=，计算得出：a=-.

∴点Q1的坐标为（3，-）.

综上所述，点Q的坐标为（3，）或（3，）或（3，2）或（3，-）.