Question

已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.

(1)如图①，求∠T和∠CDB的大小；

(2)如图②，当BE=BC，求∠CDO的大小.

Answer

（1）∠T==40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO=15°.

【解析】试题分析：（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．

试题解析：(1)如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，

∴AT⊥AB，即∠TAB=90°

∵∠ABT=50°，

∴∠T=90°－∠ABT=40°

由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°－∠ABC=40°

∴∠CDB=∠CAB=40°；

(2)如图，连接AD

在△BCE中，BE＝BC，∠EBC=50°，

∴∠BCE＝∠BEC=65°，

∴∠BAD=∠BCD=65°

∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD=65°

∵∠ADC=∠ABC=50°

∴∠CDO=∠ODA－∠ADC=15°