Question

如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：

 ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180 ；③△EHF≌△DHC；④若，则3S_△EDH=13S_△DHC，其中结论正确的有___________．

Answer

①②③④

【解析】①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，

∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，

∴△CFG为等腰直角三角形，

∴GF=FC，

∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，

∴EG=DF，故①正确；

②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

∵EF=CD，

∠EFH=∠DCH，

FH=CH，

∴△EHF≌△DHC（SAS），

∴∠HEF=∠HDC，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；

③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

EF=CD，

∠EFH=∠DCH，

H=CH，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；

④∵AE：AB=2：3，

∴AE=2BE，

∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，

在△EGH和△DFH中，

∵ED=DF,

∠EGH=∠HFD,

GH=FH，

∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，

∴△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：

设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x

则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，

∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；

故答案为：①②③④．