Question

已知：如图，一次函数y=－2x与二次函数y＝ax²＋2ax＋c的图像交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与其对称轴交于点C． 

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图像的顶点为D，点C与点D 关于 x轴对称，且△ACD的面积等于2.

   ① 求二次函数的解析式；

② 在该二次函数图像的对称轴上求一点P（写出其坐标），使△PBC与△ACD相似.

Answer

（1）C点的坐标为（－1，2）；（2）①y＝2x2＋4x；②点P的坐标为（－1， 10），（－1， ）.

【解析】试题分析：

（1）把y＝ax2＋2ax＋c配方可得抛物线的对称轴为直线x=1，由此结合已知条件即可求得点C的坐标为（-1，2）；

（2）①由（1）中的结论结合题意可得点D的坐标为（-1，-2），由此可得CD=4，结合△ACD的面积为2可得点A到CD的距离为1，结合点A是抛物线与直线y=-2x的交点可得点A与原点重合，即点A的坐标为（0，0），这样设抛物线的解析式为y-a(x+1)2-2，再代入点A的坐标即可求得a的值，从而可得抛物线的解析式；

②如下图，由已得抛物线的解析式结合题意可求得点B的坐标，再求结合点A、C、D的坐标即可得到AC、BC、CD的长，然后分△P1BC∽△ACD和△P1BC∽△ACD两种情况列出比例式，解出对应的P1C和P2C即可得到对应的点P的坐标了.

试题解析：

（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，

∴它的对称轴为x＝－1．

又∵一次函数y=－2x与对称轴交于点C，

∴y＝2，

∴C点的坐标为（－1，2）．

（2）①∵点C与点D 关于x轴对称，

∴点D的坐标为（－1，－2）．

∴CD=4，

∵△ACD的面积等于2．

∴点A到CD的距离为1，点A是抛物线与直线y=-2x的交点，

∴可得A点与原点重合，点A的坐标为（0，0），

设二次函数为y＝a(x+1)2－2，∵其图象过点A（0，0），

∴a(0+1)2-2=0，解得a＝2,

∴二次函数的解析式为：y＝2x2＋4x；

② 由 解得： , ，

∴点B的坐标为（－3，6），

∵点A、B、C、D的坐标分别为（0，0），（-3，6），（-1，2），D（-1，-2），

∴易得△ACD是等腰三角形，CD=4，AC=，BC=，

如下图，①当△P2BC∽△CAD时，

，即，解得P2C=8，

∴点P2到x轴的距离为10，即点P2的坐标为（-1，10）；

②当△P1BC∽△ACD时，

，即，解得P1C=2.5，

∴点P1到x轴的距离为4.5，即点P1的坐标为.

∴综上所述可得：点P的坐标为（－1， 10），（－1， ）.